线性代数的本质
原教程:线性代数的本质
向量是什么
- 三种观点:
- 物理:向量是空间中的箭头
- 计算机:向量是有序的数字列表(列表的花哨说法)
- 数学: 可以是任何东西,只要保证向量运算时有意义
思考向量的特定方式:
首先考虑一个箭头,考虑它所在的坐标系,它的起点位于原点,则可以仅用它的终点表示该向量
线性组合:张成的空间与基
可以用任意两个不共线的非0向量作为向量空间的基
若干个向量全部线性组合构成的向量组合称为”它们张成的空间”
当一组向量中,可以减少一个而不影响张成空间,就说它们是线性相关的.
当一个向量组中,有一个向量是其他向量的线性组合,就说它们是线性相关的.
矩阵与空间变换
线性变换:变换是函数的一种花哨说法,一个变换接收一个向量, 输出一个向量
用变换后的i,j(基)可以算出变换后的所有向量
用i,j按列排列后的矩阵,称为变换矩阵
变换矩阵与向量相乘,即发生变换
矩阵乘法与线性变换复合的联系
如果进行两次线性变换,这两次线性变换矩阵的乘积称为复合矩阵,表示复合变换
附注三维空间的线性变换
与二维类似,而且”三倍”正确
行列式
二维空间中,变换矩阵的行列式的数值表示一个区域面积的缩放大小
同理,三维中表示体积的缩放
行列式为负会改变空间定向
逆矩阵,列空间,秩与零空间
线性代数可以求解特定种类的方程组,如
1 | 2x+5y+3z = -3 |
此时可得系数矩阵A,未知量向量X,常量向量V
A代表一种线性变换,使X变换后成为V,即AX=V
那么,将A移动到右边,即X=A^-1V
A^-1(A的逆矩阵)表示A变换的逆变换
AA^1(A与其逆矩阵相乘)表示什么都不做的变换(主对角线为1,其他为0的变换矩阵)
当A的行列式为0时,许多种向量都能变换(,或者说压缩)为V,此时无法逆变换,因为A^-1V不能返回多个解
当变换的结果为一条直线时,称这个变换矩阵的秩为1,当变换的结果为二维平面,称这个变换矩阵的秩为2,以此类推.
变换矩阵张成的空间称为列空间
所以秩也表示列空间的维数
变换后落在原点的向量的集合称为矩阵的零空间
当V为零向量时,零空间就是方程所有可能的解
非方阵 不同维度空间之间的线性变换
如3行2列的矩阵和2维向量相乘,表示将2维向量变换为3维向量
点积与对偶性
点积:相同长度向量对应位置相乘得到的积相加
点积表示A向量在B向量上投影的向量的模与B向量的模乘积
投影的顺序是任意的,因为A,B向量的单位向量相互投影具有对称性
叉积的标准介绍
考虑A,B两个向量,AXB(叉积)的模表示A,B张成的平行四边形的面积
考虑定向,如果A的位置在B的左侧(顺时针旋转),则结果为负
由A,B按列排列得到的矩阵的行列式的数值就是它们叉积的模
当两个向量越接近垂直,它们的叉积的模就越大,因为平行四边形越接近垂直
以线性变换的眼光看叉积
计算两个三维向量的叉积很奇怪,我们会得到一个i(v1w3-v3w2)+j(v3w1-v1w3)+k(v2w3-v3w2)表示的向量
当你看见一个二维变换到一维的变换时,找出一个向量,它的原向量与变换矩阵相乘在计算上与将变换矩阵转置与原向量点乘相同
所以任何一个空间到数轴的变换,你都能找到一个向量被称为这个变换的对偶向量使得应用线性变换和与对偶向量点乘等价
定义一个三维空间到数轴的变换,变换矩阵的第一列为(x,y,z),考虑它的行列式,我们就得到了一个函数,输入(x,y,z)得到这个向量和其他两个向量组成平行六面体的有向体积
思考V,W的叉积的数值等于P点乘(x,y,z),结合之前提及的知识,就是叉积的几何解释
基变换
Mathematics is the art of giving the same name to different things. -Henri Poincare
有两对基向量a,b和x,y
如果有向量v基向量a,b表示下为(p,q),如何用x,y表示?
我们可以计算(a,b)到(x,y)的变换矩阵,用变换矩阵乘(p,q)即可
考虑这个变换矩阵的逆矩阵,反之同理
设A为基向量变换矩阵,C为任一线性变换矩阵,X为用x,y表示的向量,那么X施加线性变换后的向量用a,b表示的为
A^-1CAX
特征向量与特征值
进行线性变换后,大部分向量的方向都改变了
少部分的向量没有改变方向,只是被拉伸了,就像乘了一个标量一样
那么这种没有改变方向的向量称为这个变换矩阵的特征向量,这个”就像”的标量称为特征值
对于空间总体的向量而言,找到线性变换的特征向量,相当于找到了变换的旋转轴
对于特征向量的定义(x代替拉姆达):Av = xv
可以变换为Av = xEv
再次变换为(A-xE) = 0 即可计算 x
抽象向量空间
线性:可加性和成比例性
考虑超过三维的向量
线性变换和求导有所联系
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